똘배쌤의 실생활 수학수업이 필요한 이유 - 전자계산기와 관련된 수학이야기

발행일 : 2019-01-07 06:26 조회수 389회 좋아요 2 댓글 0

  • 사칙연산 문제를 해결하다가 왜 곱셈을 먼저 할까? 라는 의문이 듭니다.

    예를 들어 100+1×2를 계산하면, 곱셈을 덧셈보다 먼저 하니까 102가 정답이 됩니다. 하지만 왜? 덧셈보다 곱셈을 먼저 하도록 규칙을 정했는지 잘 모릅니다.

     

    어떤 특별한 이유라도 있을까요?

    앞에서 살펴본 바와 같이 연산 우선 순위에 따라 102, 202와 같이 계산 결과가 달라집니다.

    왜 곱셈을 덧셈보다 먼저 하나요? 의 질문에 우리들은 약속이니까! 라고 대답을 합니다.

    그럼, 왜 덧셈보다 곱셈을 먼저 하도록 약속을 했을까요?

     

    바로! 우리가 중위 표기법을 쓰기 때문입니다.

    100+1×2와 같은 식에서 연산 기호 +×는 그 기호의 앞뒤에 있는 두 수를 가지고 연산한 결과를 구하라는 뜻입니다.

    앞과 뒤 두 개의 수를 가지고 연산한다는 뜻에서 이런 연산을 이항연산이라 하고, 연산하려는 두 수 사이에 기호를 쓴다는 뜻에서 이런 표기법을 중위 표기법이라고 하는 것입니다.

     

    그리고 중위 표기법에 앞서 전위 표기법과 후위 표기법도 있습니다.

    전위표기법은 간단하게 설명하자면 연산기호가 연산 대상보다 앞에 온다는 뜻입니다. 표기해 보면, + 100 × 1 2 이렇게 됩니다.

     

    후위표기법은 간단하게 설명하면 연산기호가 연산 대상 뒤에 온다는 뜻입니다. 표기해 보면, 100 + 1 2 × 이렇게 됩니다.

    하지만 중위 표기법은 괄호 없이 수식을 제대로 표기할 수 없는 문제가 있는데요.

    이에 반해 전위 표기법이나 후위 표기법에서는 아무리 복잡한 수식도 연산에 대한 우선순위 없이 나타낼 수 있는 장점이 있습니다.

     

    100+1×2를 예를 들어 생각해 보겠습니다.

    만약 중위표기법에서 연산에 대한 우선순위가 없다면, 단순히 차례대로 연산하여 202가 나옵니다. 하지만 우선 순위가 있기 때문에 102가 나오는 것이죠!

    흔히 쓰는 탁상용 전자계산기가 바로 이와 같은 방식으로 계산을 합니다.

    , 전자계산기는 우선 순위 없는 중위표기법을 사용하고 있습니다.

    따라서 전자계산기로 계산하였더니, 100+1×2202라고 계산하는 것은 올바른 답변이라 할 수 없습니다.

    하지만 스마트 폰에 있는 어플 똑똑한 계산기는 우선순위를 두어 사칙연산을 계산하기도 합니다.

    수와 기호를 어떻게 배열하여도, 중위표기법으로는 괄호를 쓰지 않는 한 (1+2)×(3+4)와 같은 결과를 얻을 수 있다? 없다?

    없습니다.

    따라서 중위표기법은 어느 연산을 먼저 할지를 나타내는 표시가 반드시 필요한데, 이것이 바로 괄호입니다.

     

    곱셈을 덧셈보다 먼저 계산한다는 규칙을 바꿔 말하면, 곱셈에는 괄호 표시가 없어도 괄호가 붙어 있는 것처럼 생각하고 연산하라는 말과 같습니다.

     

    사칙연산에서 곱셈을 덧셈보다 먼저 하는 표기법은 곱셈을 먼저 하라는 기호인 괄호를 생략한 것과 마찬가지입니다.

    왜 하필 곱셈 쪽의 괄호를 생략하는 것일까? 궁금할 것입니다.

    그럼, 덧셈 쪽의 괄호를 생략하면 안 될까?

    당연히! 됩니다.

     

    사칙연산에서 덧셈을 곱셈보다 먼저 하는 것으로 규칙을 정했다고 하여도 논리적인 모순은 생기지 않습니다. 그저 덧셈을 먼저 하라는 괄호를 생략하는 것 뿐이니까 모순이 생길 이유가 없는 것입니다.

    다만 100+(1×2)(100+1)×2의 결과가 다르고 괄호의 개수가 늘어날수록 식이 더 복잡해지므로, 어느 한 쪽의 괄호를 생략하는 것으로 규칙을 정하는 것이 편리합니다.

     

    아래의 식에서 보듯, 경우에 따라서는 곱셈을 먼저 하라는 괄호를 생략하는 게 더 간단할 수도 있고, 또 어떤 경우에는 반대로 덧셈을 먼저 하라는 괄호를 생략하는 게 더 간단할 수도 있다.

    계산하려는 식

    곱셈을 덧셈보다 먼저 하는 규칙에 따라 고쳐 쓴 식

    덧셈을 곱셈보다 먼저 하는 규칙에 따라 고쳐 쓴 식

    (1+2)×(3+4)

    (1+2)×(3+4)

    1+2×3+4

    (1×2)+(3×4)

    1×2+3×4

    (1×2)+(3×4)

    따라서 곱셈을 덧셈보다 먼저 하는 규칙은 반드시 그래야만 하는 논리적인 이유가 있다기보다는 경험적이고 역사적인 결과로서 정해진 것이라 할 수 있습니다.

     

    현재와 비슷한 대수적인 표기법이 정립되기 시작한 16세기 무렵의 문헌에 따르면, 이미 덧셈보다 곱셈을 먼저 하는 규칙이 보입니다.

    다항식을 써 보면 곱셈의 괄호를 생략하는 쪽이 편리하기도 하구요.

     

    이와 같이 혼동의 여지를 줄이고 편리한 방법으로 확립된 것은 기껏해야 백년 정도밖에 되지 않은 셈입니다.

     

    이제 사칙연산에서 덧셈보다 곱셈을 먼저 계산하는 이유! 이해가 되셨나요?

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